Factorización paso a paso

Ejemplo 1 (modelo del profesor, sin saltos lógicos)

Problema inicial:

3x² + 12x + 11

Paso 1 · Agrupación estratégica
Agrupamos los dos primeros términos para preparar un factor común.

(3x² + 12x) + 11

Paso 2 · Factor común
Sacamos factor común 3 en el paréntesis.

3(x² + 4x) + 11

Paso 3 · Preparar el cuadrado perfecto
Queremos forzar la estructura famosa a² + 2ab. Para ello completamos cuadrado.

3(x² + 4x + 4 − 4) + 11

Paso 4 · Separación consciente
Separamos el trinomio en una parte cuadrada perfecta y un ajuste numérico.

3[(x + 2)² − 4] + 11

Paso 5 · Distribución del factor
Multiplicamos el 3 por cada término del corchete.

3(x + 2)² − 12 + 11

Paso 6 · Reducción numérica
Simplificamos los términos constantes.

3(x + 2)² − 1

Paso 7 · Reescritura clave (aquí nace la raíz)
Observamos que:

3(x + 2)² = (√3)²(x + 2)²

y usando la propiedad del producto de cuadrados:

(√3)²(x + 2)² = (√3(x + 2))²

Paso 8 · Identidad revelada
Sustituimos la expresión anterior:

(√3(x + 2))² − 1²

Aquí aparece claramente la estructura a² − b².

Paso 9 · Diferencia de cuadrados
Aplicamos la identidad:

a² − b² = (a + b)(a − b)

Resultado final completamente factorizado

(√3(x + 2) + 1)(√3(x + 2) − 1)

Problema:
5x² + 20x + 19

Paso 1: Sacamos factor común 5 en los dos primeros términos.

5(x² + 4x) + 19

Paso 2: Forzamos la estructura de cuadrado perfecto completando cuadrado.

5(x² + 4x + 4 − 4) + 19

Paso 3: Reescribimos con intención matemática.

5[(x + 2)² − 4] + 19

Paso 4: Operamos términos constantes.

5(x + 2)² − 20 + 19 = 5(x + 2)² − 1

Paso 5: Aparece la diferencia de cuadrados.

(√5(x + 2))² − 1²

Resultado final:

(√5(x + 2) + 1)(√5(x + 2) − 1)