Ejemplo 1 (modelo del profesor)
Problema:
3x² + 12x + 11
3x² + 12x + 11
Paso 1: Sacamos factor común del coeficiente del término cuadrático.
3(x² + 4x) + 11
Paso 2: Queremos forzar la estructura famosa a² + 2ab. Para ello completamos cuadrado.
3(x² + 4x + 4 − 4) + 11
Paso 3: Agrupamos convenientemente.
3[(x + 2)² − 4] + 11
Paso 4: Operamos los términos numéricos.
3(x + 2)² − 12 + 11 = 3(x + 2)² − 1
Paso 5: Reconocemos ahora una diferencia de cuadrados.
(√3(x + 2))² − 1²
Resultado final:
(√3(x + 2) + 1)(√3(x + 2) − 1)
Ejemplo 2 (estructura escondida similar)
Problema:
5x² + 20x + 19
5x² + 20x + 19
Paso 1: Sacamos factor común 5 en los dos primeros términos.
5(x² + 4x) + 19
Paso 2: Forzamos la estructura de cuadrado perfecto completando cuadrado.
5(x² + 4x + 4 − 4) + 19
Paso 3: Reescribimos con intención matemática.
5[(x + 2)² − 4] + 19
Paso 4: Operamos términos constantes.
5(x + 2)² − 20 + 19 = 5(x + 2)² − 1
Paso 5: Aparece la diferencia de cuadrados.
(√5(x + 2))² − 1²
Resultado final:
(√5(x + 2) + 1)(√5(x + 2) − 1)